Objetivo del Blog

Nuestro objetivo es orientar a docentes y alumnos de carreras afines sobre la importancia que tienen los problemas en esta disciplina y generar un lugar que promueva una matematica divertida...

Pero... ¿Qué es un problema exactamente?

“Un problema es una situación en la que uno trata de alcanzar alguna meta y debe hallar los medios para lograrlo” (Chi Y Glaser en Solución de problemas y aprendizaje de contenidos matemáticos, pag 285, 1985).


Charnay (1988) caracteriza la palabra problema, como “un recurso de aprendizaje. La resolución de problemas es considerada como fuente, lugar y criterio de elaboración de saber” (en “matemática: modelos didácticos”).


“Cuando se menciona el termino problema no se hace referencia a la ejercitación que aplica conceptos adquiridos, sino a una situación en la que el alumno, al poner en juego los conocimientos que ya posee, los cuestiona y los modifica generando nuevos conocimientos.(…) Requiere que el alumno pruebe, se equivoque, recomiencen a partir del error, construya modelos, lenguaje, conceptos, proponga soluciones, las defienda, las modifique, las discuta, comunique procedimientos y conclusiones” (la enseñanza de la matemática en E.S.B .- diseño curricular para 2° año- Bs. As., pág 206).


Desde esta perspectiva, podemos decir que un problema es una situación nueva, que genera un obstáculo para el alumno. Claro que para que cada problema sea considerado como tal, los conocimientos que dispone el alumno para su resolución debe ser insuficiente pero, al mismo tiempo, deberán estar en condiciones de desarrollar estrategias que le permitan llegar a su solución.


La solución exitosa de los problemas matemáticos depende de que los estudiantes posean las habilidades y conocimientos adecuados; de esta manera, los alumnos lograran la transferencia. Esta transferencia consiste en la aplicación a situaciones nuevas.

Tipos de problemas escolares

Existen diferentes “tipos” de problemas de acuerdo a la estructura que presentan, a los requisitos necesarios para su solución o a los objetivos que persiguen.
 
Como ejemplo, podemos citar:
 
Problemas cerrados y abiertos, cuantitativos, cualitativos y pequeños problemas de investigación escolar.

Problemas cerrados y abiertos

Dependen del mayor o menor grado de intervención del alumno en la resolución del problema, y de las estrategias que utiliza.
 
Veamos el resumen de las distintas características que muestra la siguiente tabla presentada por Garret (1995).

Cerrados:

Puede hallarse su solución
Son objetivos

Sólo podemos hallar una respuesta correcta.
A veces hay un algoritmo apropiado que garantiza la respuesta.
Requiere un conocimiento específico de las técnicas o del tanteo.
 

¿...Y qué es necesario para resolver un problema?

Para resolver un problema se necesita:

1-Comprender el problema:
· ¿Cuál es la incógnita?
· ¿Cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determinar la incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradictoria?
2- Concebir un plan.
· Determinar la relación entre los datos y la incógnita.
· De no encontrar una relación inmediata, puede considerar problemas auxiliares.
· ¿Podría enunciar el problema de otra forma?
· ¿Ha empleado todos los datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al problema?
· Obtener finalmente un plan de solución.

3- Ejecución del plan.
· Al ejecutar el plan de la solución, comprobar cada uno de los pasos.
· ¿Puede ver claramente que el paso es el correcto? ¿Puede usted mostrarlo?

4- Visión retrospectiva.
· ¿Puede verificar el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento?
· ¿Puede obtener el resultado en forma diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede emplear el resultado o el método en algún otro problema?

¿Por qué utilizar problemas en matemática?

“(...)El alumno entra en una actividad de construcción de conocimientos cuando él tiene un problema a resolver (...)”. (CHEMELO, G y DIAZ, A (1997) Matemática. Modelos Didácticos. Bs. As. Prociencia (cap. II, p. 54))


Los Contenidos Básicos Comunes (CBC) para la educación General Básica pone un especial énfasis en la resolución de problemas como método integral en la enseñanza de la matemática. Allí se indica que la resolución de problemas es un proceso que debe penetrar todo el diseño curricular y proveer el contexto en el cual los conceptos y las actitudes pueden ser aprendidos.


Esta recomendación descansa en una concepción particular sobre lo que significa la matemática, su enseñanza y su aprendizaje.


Desde esta perspectiva, “saber matemática” es “hacer matemática”, ya que lo que caracteriza a la matemática es precisamente su hacer, sus procesos creativos y generativos.


La idea que surge de esta concepción es que los estudiantes deben comprometerse en actividades con sentido, originadas a partir de situaciones problemáticas. Estas situaciones requieren de un pensamiento creativo, que permita conjeturar y aplicar información, descubrir, inventar y comunicar sus ideas, así como probar esas ideas a través de la reflexión crítica y la argumentación.


Cabe destacar que, el proceso de aprendizaje, a través de la resolución de problemas se basa en la “teoría de aprendizaje” propuesta por David Ausubel, que concentra su atención en los conceptos y el aprendizaje proposicional como base sobre la que construye el individuo sus significados propios e idiosincrásicos; el aprendizaje significativo se contrapone al aprendizaje memorístico.


“Para aprender significativamente, el individuo debe tratar de relacionar los nuevos conocimientos con los conceptos y proposiciones relevantes que ya conoce” (aprendiendo sobre el aprendizaje, pág 26).

¿Cómo utilizar los problemas en matemática?

  

Al trabajar con problemas en matemática, los docentes no enseñan en el sentido tradicional de pararse frente a la clase e impartir conocimientos, sino que adecua materiales con los que los alumnos se comprometen activamente mediante la manipulación e interacción social.

“La situación de aprendizaje organizada alrededor de un problema se caracteriza por actividades de investigación, de producción de hipótesis, de exploración, de ensayo, de verificación. El alumno ejerce a su nivel las actividades cognitivas propio de todo matemático, el produce matemática”. (Matemática: modelos didácticos”.

El profesor transpone los contenidos matemáticos cuando diseña situaciones de enseñanza en forma de problemas para que los alumnos puedan elaborar proyectos que lo lleven a su solución.

Los problemas (o situaciones problemáticas) pueden ser utilizados en cualquier momento de la clase, ya que pueden ser utilizados para introducir un contenido a enseñar (problema disparador), una vez dada la parte teórica a modo de practica o ejercitación para fijar los conceptos abordados, o antes de evaluar el contenido, ya que de esta manera el profesor podrá reconocer que comprendieron los alumnos sobre el tema y podrá hacer las correcciones pertinentes antes de evaluarlos.

El uso y lugar que se le dé al problema en la clase, dependerá de la experiencia y conocimiento del profesor y de las características del grupo de alumnos.

Desde esta perspectiva, cuando el profesor ordena en una secuencia las tareas de enseñanza, asume que el alumno podrá dominar mejor las situaciones planteadas siguiendo dicha secuencia o mapa de contenido.

De esta manera, el deber del profesor de matemática es lograr que los alumnos realicen un salto mental, mediante la selección adecuada de actividades e intervenciones, para que los mismos reflexiones sobre la tarea realizada y de esta manera lograr que paso a paso evoluciones su inteligencia.

¡A utilizar el ingenio!

Lo desafiamos a resolver los siguientes problemas:

1-      Se tienen 8 bolitas de igual forma, color, tamaño y peso, salvo una que es más liviana que las otras 7. Usando solamente una balanza de equilibrio ¿Cómo podemos saber cuál es la bolita más liviana si solo podemos usar la balanza dos veces?(o sea, idear una estrategia que permita descubrir cual es la bolita falsa).

2-      Se tienen 10 bolsas iguales de monedas; cada una tiene 10 monedas iguales, y cada moneda pesa 1 gramo. Una de las bolsas contiene monedas falsas, la cual pesa 0,9 gramos cada una. Idear una estrategia para saber cuál es la bolsa que contiene las monedas falsas, utilizando solamente una vez una balanza.

3-      Utilizando solamente diez veces el numero 6 y la operación suma (+), obtener como resultado tres veces el numero 2.

4-      Utilizando solamente cuatro veces el numero 9 y la operación suma (+), obtener como resultado el numero 100.

5-      ¿Cómo hacer para cortar una torta en 8 porciones iguales, realizando solamente 3 cortes? La torta puede ser cuadrada o circular, lo importante es que solo puede usar un cuchillo para hacer tres cortes.

6-      Construir cuatros triángulos iguales utilizando solamente palitos iguales (pueden utilizar fósforos).

Problemas de Pensamiento Lateral

1. Cada día, Berta viaja 30 Kilómetros en el curso de su trabajo. No viaja en un transporte con ruedas y nunca tiene problemas con el tráfico, la policía, el clima o los aeropuertos. ¡Qué es lo que hace?
2. Guillermo era un niño menos inteligente y más flojo de una clase de 30 estudiantes que rindieron un examen. Sin embargo, cuando los resultados se dieron a conocer, el nombre de Guillermo apareció al comienzo de la lista. ¿Cómo puede ser?
3. Un perro está atado a una cuerda que mide dos metros, ¿cómo puede alcanzar un hueso que se encuentra a dos metros y medio de él?
4. Un hombre vive en un 10° piso de un edificio, y todas las mañanas, se toma el ascensor, va hasta planta baja y se va a trabajar. Pero cuando regresa, se toma el ascensor, va hasta el 7° piso, se baja, y sube los tres pisos restantes por escalera. Él odia caminar, entonces, ¿Por qué lo hace?
5. Un hombre se muere y va al cielo. Allí encuentra a todas las personas que murieron, desnudas, y con la apariencia que tenían a los 21 años. Se pronto mira a una pareja de jóvenes e inmediatamente se da cuenta que son Adán y Eva. ¿Cómo se dió cuenta?
6. Una niña vive en su casa con sus padres. Estos siempre le dijeron que por ninguna razón abra la puerta del sótano, para que no vea algo que no tenía que ver. Cierto día, los padres salen y se olvidan de asegurar la puerta del sótano con llave. La niña, no pudiendo resistir la tentación, aprovecha la circunstancia, y abre la puerta del sótano. Lo que ve, la deja estupefacta, no puede creer el espectáculo que se cierne ante sus ojos. Un rato más tarde la policía arresta a sus padres y ponen a la niña en un lugar seguro. ¿Qué vio la niña?
7. Hay un gran granero de madera. El granero está completamente vacío excepto por un hombre muerto que cuelga del medio de la vertiente central del tejado. La cuerda alrededor de su cuello tiene 3 metros de largo y sus pies están a un metro del suelo. La pared más cercana está a 9 metros de distancia del hombre. No es posible escalar por las paredes hasta las aguas del tejado o ir por la cornisa. El hombre se ahorcó solo. ¿Cómo lo hizo?
8. Un hombre se encuentra en una isla de aproximadamente un kilómetro de largo y cien metros de ancho. El pasto y los arbustos están resecos debido a una larga sequía. De repente, un voraz y gigantesco incendio comienza en un extremo de la isla, empujado por un fortísimo viento que sopla en dirección al hombre. El hombre no puede arrojarse al mar porque está lleno de tiburones. No hay playas, solo acantilados. ¿Qué puede hacer para no ser quemado por el fuego?
9. Tienes que entrar en una habitación fría y oscura; y sólo tienes un fósforo. Hay una lámpara de aceite, una vela y una hoguera, esperando ser encendidas ¿qué encenderías primero?
10. Un tren eléctrico va hacia el norte y el viento hacia el sur ¿hacia dónde irá el humo?